Homotopías en Venezia

La primera iteración de este texto fue escrita en siete postales enviadas desde Venezia el 27 de julio de 2021. Las iteraciones posteriores son extensiones, variaciones y permutaciones de esa iteración inicial improvisada. El presente texto no es más que una de esas iteraciones posteriores.

Una homotopía—sin entrar en tecnicismos—es una deformación de una cosa en otra. En computación, no siempre es fácil obtener una solución a un problema desde cero. Sin embargo, deformar un problema que sabemos resolver en otro que no sabemos resolver puede llevarnos a la solución más fácilmente. Para ello, solo debemos seguir cómo la solución del problema inicial se deforma en la solución del problema final. Este método, conocido como deformación homotópica, es central en la resolución de sistemas de polinomios. Sin embargo, no entremos en los detalles de este método por ahora.

Tratar de entender mejor este método fue lo que me trajo a Venezia para trabajar con Felipe Cucker—uno de mis directores de tesis—. Bueno, eso y el hecho de que Felipe tiene un piso en este ciudad. Esto último es importante, porque Felipe y yo no podíamos reunirnos en Hong Kong debido a la pandemia, por lo que tener un lugar para reunirse era necesario. Y dada la posibilidad, Venezia era un gran lugar para hacerlo.

Al andar por Venezia, une no puede evitar perderse en el complicado laberinto de sus calles de agua. Sin embargo, esto mismo es lo bonito de andar por Venezia: caminar sin un rumbo claro sobre sus canales y por sus puentes absorvido en la contemplación de la bella arquitectura veneziana. Esto es quizás lo que precisamente más me gusta de esta ciudad: ir perdido entre sus edificios para acabar en un lugar (des)conocido por sorpresa o en un callejón sin salida que nos obliga a retroceder sobre nuestros pasos.

Ahora, perderse en Venezia y sus paisajes urbanos no es siempre una posibilidad. A veces, tenemos que ir a alguna parte desde otra parte—de casa a la piazza San Marco o tu gelateria favorita. Con un móvil esto es fácil, pero imaginemos que al estar tan atentos al móvil nos tropezamos y—la Matemática no lo quiera—se nos cae el móvil a un canal. ¿Cómo hacemos ahora para ir a alguna parte y no a ninguna parte?

Si el lugar está suficientemente cerca, la solución es sencilla: preguntamos a une locale¹ o simplemente examinamos las calles cercanas y listo. Lamentablemente, no siempre tenemos la suerte de ir a un lugar cercano—dicho de otra manera: tenemos la mala suerte de ir a un lugar lejano.² En esta situación, ¿cuál puede ser una buena estrategia? Un local puede darnos indicaciones difíciles de seguir/recordar—o incluso erróneas— y explorar la ciudad puede llevarnos demasiado tiempo. Así, la pregunta sigue: ¿qué podemos hacer?

En vez de tratar de ir directamente de donde estamos a ese lugar lejano al que queremos ir—resolver directamente el problema—, podemos ‘deformar’—transformar—nuestro problema en otro más fácil de resolver. Este problema a su vez ‘deformamos’ en otro más fácil de resolver, y así sucesivamente hasta que llegamos a un punto donde nuestras técnicas iniciales (preguntar a une locale o examinar las calles cercanas) pueden resolver el problema. Así, en vez de resolver nuestro problema de golde, poco a poco hemos transformado este problema incial en una sucesión de problemas más fáciles de resolver. Esto es la filosofía que subyace a la continuación homotópica.

Intentemos no ser tan abstractes y volvamos a Venezia. En nuestra situación, tenemos hambre y queremos comer algunos chiquetti.³ En vez de ir a un lugar cualquiera, estamos caprichoses y así decidimos ir a la Enoteca Schiavi porque tienen chiquetti en abundancia y a buen precio.

La Enoteca Schiavi está cerca de la Gallerie dell’Accademia de Venezia—la Accademia a partir de ahora—, en tanto que es fácil encontrarla bien explorando alrededor de la Accademia o preguntando a une locale que esté por allá. Ahora, igual tampoco sabemos ir a la Accademia, pero desde la piaza de San Marco se puede ir a la Accademia siguiendo las señales correspondientes. De esta forma, si sabemos ir a San Marco, sabemos ir a la Accademia y de ahí a la Enoteca Schiavi y sus chiquetti. Esto es, hemos ‘deformado’ el problema de ir a San Marco al problema de ir a la Enoteca Schiavi pasando a través del problema de ir a la Accademia. Esto muestra la filosofía de la continuación homotópica en acción.

Ahora, si bien siempre puedo orientarme por Venezia—y dónde sea—haciendo homotopías y continuaciones homotópicas, no siempre debe une saber dónde va a acabar. Perderse por Venezia, deambulando sobre sus canales y por sus puentes sin rumbo aparente, será siempre más divertido y bello que hacer homotopías y continuaciones homotópicas en ella.

Si es que todavía existen locales en Venezia. ↩
Siguiendo el estilo rajoyano. ↩
Una versión veneziana de los pintxos—pronunciado ‘pinchos’ para aquelles desconocedores del euskera. ↩